- Filtri analogici o digitali
- Filtri attivi o passivi
- Filtri basati su audio o radiofrequenza
- Filtri basati sulla selezione della frequenza
- Filtro Butterworth passa basso del primo ordine
- Filtro passa basso Butterworth di secondo ordine
- Derivazione del filtro Butterworth passa-basso del secondo ordine -Aliter
I filtri elettrici hanno molte applicazioni e sono ampiamente utilizzati in molti circuiti di elaborazione del segnale. Viene utilizzato per scegliere o eliminare segnali di frequenza selezionata in uno spettro completo di un dato ingresso. Quindi il filtro viene utilizzato per consentire il passaggio dei segnali della frequenza scelta o per eliminare i segnali della frequenza scelta che lo attraversano.
Al momento, sono disponibili molti tipi di filtri e sono differenziati in molti modi. E abbiamo trattato molti filtri nei tutorial precedenti, ma la differenziazione più popolare si basa su,
- Analogico o digitale
- Attivo o passivo
- Audio o radiofrequenza
- Selezione della frequenza
Filtri analogici o digitali
Sappiamo che i segnali generati dall'ambiente sono di natura analogica mentre i segnali elaborati nei circuiti digitali sono di natura digitale. Dobbiamo utilizzare filtri corrispondenti per segnali analogici e digitali per ottenere il risultato desiderato. Quindi dobbiamo utilizzare filtri analogici durante l'elaborazione dei segnali analogici e utilizzare filtri digitali durante l'elaborazione dei segnali digitali.
Filtri attivi o passivi
I filtri sono anche suddivisi in base ai componenti utilizzati durante la progettazione dei filtri. Se il design del filtro è completamente basato su componenti passivi (come resistore, condensatore e induttore), il filtro viene chiamato filtro passivo. D'altra parte, se usiamo un componente attivo (amplificatore operazionale, sorgente di tensione, sorgente di corrente) durante la progettazione di un circuito, il filtro viene chiamato filtro attivo.
Più comunemente, però, un filtro attivo è preferito a uno passivo poiché ha molti vantaggi. Alcuni di questi vantaggi sono menzionati di seguito:
- Nessun problema di caricamento: sappiamo che in un circuito attivo utilizziamo un amplificatore operazionale che ha un'impedenza di ingresso molto alta e un'impedenza di uscita bassa. In tal caso, quando colleghiamo un filtro attivo a un circuito, la corrente assorbita dall'amplificatore operazionale sarà molto trascurabile poiché ha un'impedenza di ingresso molto elevata e quindi il circuito non subisce alcun carico quando il filtro è collegato.
- Flessibilità di regolazione del guadagno: nei filtri passivi, il guadagno o l'amplificazione del segnale non è possibile poiché non ci saranno componenti specifici per eseguire tale operazione. D'altra parte in un filtro attivo, abbiamo op-amp che può fornire un elevato guadagno o amplificazione del segnale ai segnali di ingresso.
- Flessibilità di regolazione della frequenza: i filtri attivi hanno una maggiore flessibilità durante la regolazione della frequenza di taglio rispetto ai filtri passivi.
Filtri basati su audio o radiofrequenza
I componenti utilizzati nella progettazione del filtro cambiano a seconda dell'applicazione del filtro o del luogo in cui viene utilizzata la configurazione. Ad esempio, i filtri RC vengono utilizzati per applicazioni audio o a bassa frequenza mentre i filtri LC vengono utilizzati per applicazioni radio o ad alta frequenza.
Filtri basati sulla selezione della frequenza
I filtri sono anche suddivisi in base ai segnali passati attraverso il filtro
Filtro passa basso:
Tutti i segnali sopra le frequenze selezionate vengono attenuati. Sono di due tipi: filtro passa basso attivo e filtro passa basso passivo. La risposta in frequenza del filtro passa basso è mostrata di seguito. Qui, il grafico tratteggiato è il grafico del filtro passa basso ideale e un grafico pulito è la risposta effettiva di un circuito pratico. Ciò è accaduto perché una rete lineare non può produrre un segnale discontinuo. Come mostrato in figura dopo che i segnali raggiungono la frequenza di taglio fH subiscono un'attenuazione e dopo una certa frequenza più alta i segnali forniti in ingresso vengono completamente bloccati.
Filtro passa alto:
Tutti i segnali al di sopra delle frequenze selezionate vengono visualizzati in uscita e un segnale al di sotto di tale frequenza viene bloccato. Sono di due tipi: filtro passa alto attivo e filtro passa alto passivo. La risposta in frequenza di un filtro passa-alto è mostrata di seguito. Qui, un grafico tratteggiato è il grafico del filtro passa alto ideale e un grafico pulito è la risposta effettiva di un circuito pratico. Ciò è accaduto perché una rete lineare non può produrre un segnale discontinuo. Come mostrato nella figura, finché i segnali non hanno una frequenza superiore alla frequenza di taglio fL subiscono attenuazione.
Filtro passa banda:
In questo filtro, solo i segnali della gamma di frequenza selezionata possono apparire in uscita, mentre i segnali di qualsiasi altra frequenza vengono bloccati. La risposta in frequenza del filtro passa-banda è mostrata di seguito. Qui, il grafico tratteggiato è il grafico del filtro passa-banda ideale e un grafico pulito è la risposta effettiva di un circuito pratico. Come mostrato nella figura, i segnali sulla gamma di frequenza da fL a fH possono passare attraverso il filtro mentre i segnali di altre frequenze subiscono un'attenuazione. Ulteriori informazioni sul filtro passa banda qui.
Filtro di rifiuto della banda:
La funzione del filtro di rifiuto della banda è l'esatto opposto del filtro passa-banda. Tutti i segnali di frequenza aventi valore di frequenza nella gamma di banda selezionata fornita all'ingresso vengono bloccati dal filtro mentre i segnali di qualsiasi altra frequenza possono apparire all'uscita.
Filtro passa tutto:
I segnali di qualsiasi frequenza possono passare attraverso questo filtro, tranne che subiscono uno spostamento di fase.
In base all'applicazione e al costo, il progettista può scegliere il filtro appropriato tra vari tipi diversi.
Ma qui puoi vedere sui grafici di output che i risultati desiderati e quelli effettivi non sono esattamente gli stessi. Sebbene questo errore sia consentito in molte applicazioni, a volte abbiamo bisogno di un filtro più accurato il cui grafico di output tende maggiormente verso il filtro ideale. Questa risposta quasi ideale può essere ottenuta utilizzando speciali tecniche di progettazione, componenti di precisione e amplificatori operazionali ad alta velocità.
Butterworth, Caur e Chebyshev sono alcuni dei filtri più comunemente usati in grado di fornire una curva di risposta quasi ideale. In essi, discuteremo del filtro Butterworth qui poiché è il più popolare dei tre.
Le caratteristiche principali del filtro Butterworth sono:
- È un filtro basato su RC (resistore, condensatore) e amplificatore operazionale (amplificatore operazionale)
- È un filtro attivo in modo che il guadagno possa essere regolato se necessario
- La caratteristica chiave di Butterworth è che ha una banda passante piatta e una banda di arresto piatta. Questo è il motivo per cui viene solitamente chiamato "filtro piatto piatto".
Parliamo ora del modello di circuito del filtro Low Pass Butterworth per una migliore comprensione.
Filtro Butterworth passa basso del primo ordine
La figura mostra il modello di circuito del filtro passa-basso Butter worth del primo ordine.
Nel circuito abbiamo:
- Tensione "Vin" come segnale di tensione in ingresso di natura analogica.
- La tensione "Vo" è la tensione di uscita dell'amplificatore operazionale.
- I resistori "RF" e "R1" sono i resistori di feedback negativo dell'amplificatore operazionale.
- Nel circuito è presente un'unica rete RC (contrassegnata nel quadrato rosso) quindi il filtro è un filtro passa basso di primo ordine
- 'RL' è la resistenza di carico collegata all'uscita dell'amplificatore operazionale.
Se usiamo la regola del divisore di tensione al punto 'V1', allora possiamo ottenere la tensione attraverso il condensatore come, V 1 = V in seguito -jXc = 1 / 2ᴫfc
Dopo la sostituzione di questa equazione avremo qualcosa di simile sotto
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Ora l'amplificatore operazionale qui utilizzato nella configurazione con feedback negativo e in tal caso l'equazione della tensione di uscita è data come, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Questa è una formula standard e puoi esaminare i circuiti degli amplificatori operazionali per maggiori dettagli.
Se inviamo l'equazione V1 in Vo avremo, V0 = (1 + R F / R 1)
Dopo aver riscritto questa equazione possiamo avere, V 0 / V in = A F / (1 + j (f / f L))
In questa equazione,
- V 0 / V in = guadagno del filtro in funzione della frequenza
- AF = (1 + R F / R 1) = guadagno banda passante del filtro
- f = frequenza del segnale di ingresso
- f L = 1 / 2ᴫRC = frequenza di taglio del filtro. Possiamo usare questa equazione per scegliere i valori appropriati del resistore e del condensatore per selezionare la frequenza di taglio del circuito.
Se convertiamo l'equazione di cui sopra in una forma polare avremo,
Possiamo usare questa equazione per osservare la variazione dell'ampiezza del guadagno con la variazione della frequenza del segnale di ingresso.
Caso 1: f <
Quindi, quando la frequenza di ingresso è molto inferiore alla frequenza di taglio del filtro, l'ampiezza del guadagno è approssimativamente uguale al guadagno del loop dell'amplificatore operazionale.
Case2: f = f L. Se la frequenza di ingresso è uguale alla frequenza di taglio del filtro,
Quindi, quando la frequenza di ingresso è uguale alla frequenza di taglio del filtro, l'ampiezza del guadagno è 0,707 volte il guadagno del loop dell'amplificatore operazionale.
Case3: f> f L. Se la frequenza di ingresso è superiore alla frequenza di taglio del filtro,
Come puoi vedere dal pattern, il guadagno del filtro sarà lo stesso del guadagno dell'amplificatore operazionale fino a quando la frequenza del segnale in ingresso non è inferiore alla frequenza di taglio. Ma una volta che la frequenza del segnale di ingresso raggiunge la frequenza di taglio, il guadagno diminuisce marginalmente come si vede nel caso due. Man mano che la frequenza del segnale di ingresso aumenta ulteriormente, il guadagno diminuisce gradualmente fino a raggiungere lo zero. Quindi il filtro passa basso Butterworth consente al segnale di ingresso di apparire in uscita fino a quando la frequenza del segnale di ingresso è inferiore alla frequenza di taglio.
Se abbiamo disegnato il grafico della risposta in frequenza per il circuito di cui sopra avremo,
Come si vede nel grafico, il guadagno sarà lineare fino a quando la frequenza del segnale di ingresso non incrocia il valore della frequenza di taglio e una volta che si verifica il guadagno diminuisce notevolmente così come il valore della tensione di uscita.
Filtro passa basso Butterworth di secondo ordine
La figura mostra il modello di circuito del filtro passa basso Butterworth di 2 ° ordine.
Nel circuito abbiamo:
- Tensione "Vin" come segnale di tensione in ingresso di natura analogica.
- La tensione "Vo" è la tensione di uscita dell'amplificatore operazionale.
- I resistori "RF" e "R1" sono i resistori di feedback negativo dell'amplificatore operazionale.
- Nel circuito è presente una doppia rete RC (contrassegnata da un quadrato rosso) quindi il filtro è un filtro passa basso del secondo ordine.
- 'RL' è la resistenza di carico collegata all'uscita dell'amplificatore operazionale.
Derivazione del filtro Butterworth passa basso del secondo ordine
I filtri di secondo ordine sono importanti perché i filtri di ordine superiore sono progettati per utilizzarli. Il guadagno del filtro del secondo ordine è impostato da R1 e RF, mentre la frequenza di taglio f H è determinata dai valori R 2, R 3, C 2 e C 3. La derivazione per la frequenza di taglio è data come segue, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
L'equazione del guadagno di tensione per questo circuito può anche essere trovata in modo simile a prima e questa equazione è data di seguito,
In questa equazione,
- V 0 / V in = guadagno del filtro in funzione della frequenza
- A F = (1 + R F / R 1) guadagno banda passante del filtro
- f = frequenza del segnale di ingresso
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = frequenza di taglio del filtro. Possiamo usare questa equazione per scegliere i valori appropriati del resistore e del condensatore per selezionare la frequenza di taglio del circuito. Inoltre, se scegliamo lo stesso resistore e condensatore nella rete RC, l'equazione diventa,
Possiamo con l'equazione del guadagno di tensione osservare la variazione nell'ampiezza del guadagno con la variazione corrispondente nella frequenza del segnale di ingresso.
Caso 1: f <
Quindi, quando la frequenza di ingresso è molto inferiore alla frequenza di taglio del filtro, l'ampiezza del guadagno è approssimativamente uguale al guadagno del loop dell'amplificatore operazionale.
Case2: f = f H. Se la frequenza di ingresso è uguale alla frequenza di taglio del filtro,
Quindi, quando la frequenza di ingresso è uguale alla frequenza di taglio del filtro, l'ampiezza del guadagno è 0,707 volte il guadagno del loop dell'amplificatore operazionale.
Case3: f> f H. Se la frequenza di ingresso è davvero superiore alla frequenza di taglio del filtro,
Simile al filtro del primo ordine, il guadagno del filtro sarà lo stesso del guadagno dell'amplificatore operazionale fino a quando la frequenza del segnale di ingresso è inferiore alla frequenza di taglio. Ma una volta che la frequenza del segnale di ingresso raggiunge la frequenza di taglio, il guadagno diminuisce marginalmente come si vede nel caso due. E quando la frequenza del segnale di ingresso aumenta ulteriormente, il guadagno diminuisce gradualmente fino a raggiungere lo zero. Quindi il filtro passa basso Butterworth consente al segnale di ingresso di apparire in uscita fino a quando la frequenza del segnale di ingresso è inferiore alla frequenza di taglio.
Se disegniamo il grafico della risposta in frequenza per il circuito sopra, avremo,
Ora ti starai chiedendo dov'è la differenza tra il filtro del primo ordine e il filtro del secondo ordine ? La risposta è nel grafico, se osservi attentamente puoi vedere dopo che la frequenza del segnale in ingresso ha attraversato la frequenza di taglio, il grafico subisce un forte calo e questo calo è più evidente nel secondo ordine rispetto al primo ordine. Con questa forte inclinazione, il filtro Butterworth di secondo ordine sarà più incline verso il grafico del filtro ideale rispetto a un filtro Butterworth a ordine singolo.
Questo è lo stesso per il filtro passa basso Butterworth del terzo ordine, il filtro passa basso Butterworth del quarto ordine e così via. Maggiore è l'ordine del filtro, più il grafico del guadagno si appoggia a un grafico del filtro ideale. Se disegniamo il grafico del guadagno per filtri Butterworth di ordine superiore avremo qualcosa del genere,
Nel grafico, la curva verde rappresenta la curva del filtro ideale e puoi vedere come l'ordine del filtro Butterworth aumenta il suo grafico di guadagno si inclina maggiormente verso la curva ideale. Quindi più alto è l'ordine del filtro Butterworth scelto, più ideale sarà la curva di guadagno. Detto questo, non è possibile scegliere facilmente un filtro di ordine superiore poiché la precisione del filtro diminuisce con un aumento dell'ordine. Quindi è meglio scegliere l'ordine di un filtro tenendo d'occhio la precisione richiesta.
Derivazione del filtro Butterworth passa-basso del secondo ordine -Aliter
Dopo la pubblicazione dell'articolo, abbiamo ricevuto una mail da Keith Vogel, che è un ingegnere elettrico in pensione. Aveva notato un errore ampiamente pubblicizzato nella descrizione di un filtro passa basso di 2 ° ordine e ha offerto la sua spiegazione per correggerlo che è la seguente.
Quindi fammi capire bene:
E poi vai a dire che la frequenza di taglio di -6db è descritta dall'equazione:
f c = 1 / (
Tuttavia, questo semplicemente non è vero! Facciamo in modo che tu mi creda. Creiamo un circuito in cui R1 = R2 = 160 e C1 = C2 = 100nF (0.1uF). Data l'equazione, dovremmo avere una frequenza di -6db di:
f c = 1 / (
Andiamo avanti e simuliamo il circuito e vediamo dove si trova il punto -6db:
Oh, simula a 6,33 kHz NON 9,947 kHz; ma la simulazione NON È SBAGLIATA!
Per tua informazione, ho usato -6.0206db invece di -6db perché 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 è un numero un po 'più vicino di -6 e per ottenere una frequenza simulata più accurata alle nostre equazioni, ho voluto usare qualcosa di un po 'più vicino di appena -6db. Se Volevo raggiungere la frequenza descritta dall'equazione, avrei bisogno di tampone tra il 1 ° e 2 nd fasi del filtro. Un circuito più preciso per la nostra equazione sarebbe:
E qui vediamo che il nostro punto -6,0206 dB simula a 9,945 kHz, molto più vicino al nostro calcolato 9,947 kHz. Si spera che tu mi creda che ci sia un errore! Ora parliamo di come si è verificato l'errore e perché questa è solo una cattiva ingegneria.
La maggior parte delle descrizioni inizieranno con un 1 ° filtro passa-basso ordine, con l'impedenza come segue.
E ottieni una semplice funzione di trasferimento di:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Quindi dicono che se metti insieme 2 di questi per creare un filtro di 2 ° ordine, ottieni:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Dove H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Che una volta calcolato risulterà nell'equazione fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Ecco l'errore, la risposta di H 1 (s) NON è indipendente da H 2 (s) nel circuito, non puoi dire H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
L'impedenza di H 2 (s) influenza la risposta di H 1 (s). E quindi perché questo circuito funziona, perché l'opamp isola H 2 (s) da H 1 (s)!
Quindi ora analizzerò il seguente circuito. Considera il nostro circuito originale:
Per semplicità, creerò R1 = R2 e C1 = C2, altrimenti la matematica viene davvero coinvolta. Ma dovremmo essere in grado di derivare la funzione di trasferimento effettiva e confrontarla con le nostre simulazioni per la convalida quando abbiamo finito.
Se diciamo, Z 1 = 1 / sC in parallelo con (R + 1 / sC), possiamo ridisegnare il circuito come:
Sappiamo che V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1); Dove Z 1 può essere un'impedenza complessa. E se torniamo al nostro circuito originale, possiamo vedere Z 1 = 1 / sC in parallelo con (R + 1 / sC)
Possiamo anche vedere che Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), che è H 2 (s). Ma H 1 (s) è molto più complesso, è Z 1 / (R + Z 1) dove Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); e NON è 1 / (sRC + 1)!
Quindi ora esaminiamo la matematica per il nostro circuito; per il caso speciale di R1 = R2 e C1 = C2.
Abbiamo:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
E infine
Vo / V in = * = * = * = * = *
Qui possiamo vedere che:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
non 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
E..
Vo / V in = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)
Sappiamo che il punto -6db è (
E sappiamo che quando la grandezza della nostra funzione di trasferimento è a 0,5, siamo alla frequenza di -6db.
Quindi risolviamo per questo:
-Vo / V in - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Sia s = jꙍ, abbiamo:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Per trovare la magnitudine, prendi la radice quadrata del quadrato dei termini reali e immaginari.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
squadrare entrambi i lati:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
In espansione:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Sia x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Utilizzando l'equazione quadratica per risolvere per x
x = (-7 +/- sqrt (49-4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. l'unica vera risposta è il +
Ricorda
x = (ꙍRC) 2
sostituendo x
(ꙍRC) 2 = (
Sostituendo ꙍ con 2
2
f c = (
Brutto, potresti non credermi, quindi continua a leggere… Per il circuito originale che ti ho dato:
f c = (
Se torniamo alla nostra simulazione originale per questo circuito, abbiamo visto la frequenza di -6db a ~ 6.331kHz che si allinea esattamente ai nostri calcoli!
Simula questo per altri valori, vedrai che l'equazione è corretta.
Possiamo vedere che quando cuscinetto tra i due 1 st filtri passa-basso ordine possiamo usare l'equazione
f c = 1 / (
E se R1 = R2 e C1 = C2 possiamo usare l'equazione:
f c = 1 /
Ma se non cuscinetto tra i due 1 ° ordine filtra l'equazione (proposta R1 = R2, C1 = C2) diventa:
f c = (
f c ~ 0.6365 / 2
Attenzione, non tentare di dire:
f c = 0,6365 / (
Ricorda, H 2 (s) effetti H 1 (s); ma non il contrario, i filtri non sono simmetrici, quindi non fare questa supposizione!
Quindi, se rimani con la tua equazione attuale, ti consiglierei un circuito più simile a questo:
