Capire le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell sono i fondamenti della teoria elettromagnetica, che costituisce un insieme di quattro equazioni che mettono in relazione i campi elettrico e magnetico. Invece di elencare la rappresentazione matematica delle equazioni di Maxwell, ci concentreremo su qual è l'effettivo significato di tali equazioni in questo articolo. La prima e la seconda equazione di Maxwell si occupano rispettivamente dei campi elettrici statici e dei campi magnetici statici. La terza e la quarta equazione di Maxwell si occupano rispettivamente del cambiamento dei campi magnetici e del cambiamento dei campi elettrici.

Le equazioni di Maxwell sono:

1. Legge di Gauss dell'elettricità
2. Legge di Gauss del magnetismo
3. Legge di induzione di Faraday
4. Legge di Ampere

1. Legge di Gauss dell'elettricità

Questa legge afferma che il flusso elettrico da una superficie chiusa è proporzionale alla carica totale racchiusa da quella superficie. La legge di Gauss si occupa del campo elettrico statico.

Consideriamo una carica puntiforme positiva Q. Sappiamo che le linee del flusso elettrico sono dirette verso l'esterno dalla carica positiva.

Consideriamo una superficie chiusa con la Carica Q _racchiusa in essa. Il vettore area viene sempre scelto Normale ad esso perché rappresenta l'orientamento della superficie. Sia θ l'angolo formato dal vettore del campo elettrico con il vettore dell'area.

Il flusso elettrico ψ è

Il motivo per scegliere il prodotto scalare è che dobbiamo calcolare quanto flusso elettrico passa attraverso la superficie rappresentata da un vettore area normale.

Dalla legge dei coulomb sappiamo che il campo elettrico (E) dovuto a una carica puntiforme è Q / 4πε ₀ r ².

Considerando una simmetria sferica, la forma integrale della legge di Gauss è:

Quindi il Flusso Elettrico Ψ = Q _racchiuso / ε ₀

Qui la Q _racchiusa rappresenta la somma vettoriale di tutte le cariche all'interno della superficie. La regione che racchiude la carica può essere di qualsiasi forma ma per applicare la legge di Gauss, dobbiamo selezionare una superficie gaussiana che sia simmetrica e abbia una distribuzione di carica uniforme. La superficie gaussiana può essere cilindrica, sferica o piana.

Per derivarne la forma differenziale, dobbiamo applicare il teorema di divergenza.

L'equazione di cui sopra è la forma differenziale della legge di Gauss o Maxwell equazione I.

Nell'equazione precedente, ρ rappresenta la densità di carica del volume. Quando dobbiamo applicare la legge di Gauss a una superficie con una carica lineare o una distribuzione di carica superficiale, è più conveniente rappresentare l'equazione con densità di carica.

Quindi possiamo dedurre che la divergenza di un campo elettrico su una superficie chiusa fornisce la quantità di carica (ρ) racchiusa da esso. Applicando la divergenza a un campo vettoriale, possiamo sapere se la superficie racchiusa dal campo vettoriale agisce come sorgente o pozzo.

Consideriamo un parallelepipedo con una carica positiva come mostrato sopra. Quando applichiamo la divergenza al campo elettrico in uscita dalla scatola (cuboide), il risultato dell'espressione matematica ci dice che la scatola (cuboide) considerata funge da sorgente per il campo elettrico calcolato. Se il risultato è negativo, ci dice che la scatola funge da dissipatore, cioè la scatola racchiude una carica negativa in essa. Se la divergenza è zero, significa che non c'è carica in essa.

Da ciò possiamo dedurre che esistono monopoli elettrici.

2. Legge di Gauss del magnetismo

Sappiamo che la linea del flusso magnetico scorre dal polo nord al polo sud esternamente.

Poiché ci sono linee di flusso magnetico dovute a un magnete permanente, ci sarà una densità di flusso magnetico associata (B) di esso. Quando applichiamo il teorema di divergenza alla superficie S1, S2, S3 o S4, vediamo che il numero di linee di flusso in entrata e in uscita dalla superficie selezionata rimane lo stesso. Quindi il risultato del teorema della divergenza è Zero. Anche nella superficie S2 e S4, la divergenza è zero, il che significa che né il polo nord né il polo sud agiscono individualmente come sorgente o affondano come le cariche elettriche. Anche quando applichiamo la divergenza del campo magnetico (B) dovuta a un filo che trasporta corrente, risulta essere zero.

La forma integrale della legge di Gauss del magnetismo è:

La forma differenziale della legge di Gauss del magnetismo è:

Da ciò, possiamo dedurre che i monopoli magnetici non esistono.

3. Legge di induzione di Faraday

La legge di Faraday afferma che quando c'è un cambiamento nel flusso magnetico (che cambia rispetto al tempo) che collega una bobina o qualsiasi conduttore, ci sarà un EMF indotto nella bobina. Lenz ha affermato che l'EMF indotto sarà in una direzione tale da opporsi al cambiamento nel flusso magnetico che lo produce.

Nell'illustrazione sopra, quando una piastra conduttrice o un conduttore viene portato sotto l'influenza di un campo magnetico mutevole, in esso viene indotta corrente circolante. La corrente è indotta in una direzione tale che il campo magnetico da essa prodotto si oppone al mutare magnetico che l'ha creata. Da questa illustrazione, è chiaro che il cambiamento o la variazione del campo magnetico crea un campo elettrico circolante.

Dalla legge di Faraday, emf = - dϕ / dt

Lo sappiamo, ϕ = _{superficie chiusa} ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS

Campo elettrico E = V / d

V = ʃ E.dl

Poiché il campo elettrico sta cambiando rispetto alla superficie (ricciolo), esiste una differenza di potenziale V.

Pertanto la forma integrale della quarta equazione di Maxwell è,

Applicando il teorema di Stoke,

La ragione per applicare il teorema di Stoke è che quando prendiamo un ricciolo di un campo rotante su una superficie chiusa, le componenti di ricciolo interno del vettore si annullano a vicenda e questo si traduce nella valutazione del campo vettoriale lungo il percorso chiuso.

Quindi possiamo scrivere che,

La forma differenziale dell'equazione di Maxwell è

Dall'espressione sopra, è chiaro che un campo magnetico che cambia rispetto al tempo produce un campo elettrico circolante.

Nota: in elettrostatica, il ricciolo di un campo elettrico è zero perché emerge radialmente verso l'esterno dalla carica e non vi è alcun componente rotante ad esso associato.

4. Legge di Ampere

La legge di Ampere afferma che quando una corrente elettrica scorre attraverso un filo, produce un campo magnetico attorno ad esso. Matematicamente, l'integrale di linea del campo magnetico attorno a un circuito chiuso fornisce la corrente totale racchiusa da esso.

ʃ B .dl = μ ₀ I racchiuso

Poiché il campo magnetico si arriccia attorno al filo, possiamo applicare il teorema di Stoke alla legge di Ampere.

Quindi l'equazione diventa

Possiamo rappresentare la corrente racchiusa in termini di densità di corrente J.

B = μ ₀ H usando questa relazione, possiamo scrivere l'espressione come

Quando applichiamo la divergenza al ricciolo di un campo vettoriale rotante, il risultato è zero. È perché la superficie chiusa non funge da sorgente o pozzo, ovvero il numero di flussi in entrata e in uscita dalla superficie è lo stesso. Questo può essere rappresentato matematicamente come,

Consideriamo un circuito come illustrato di seguito.

Il circuito ha un condensatore collegato ad esso. Quando applichiamo la divergenza nella regione S1, il risultato mostra che è diversa da zero. In notazione matematica,

C'è un flusso di corrente nel circuito ma nel condensatore, le cariche vengono trasferite a causa del cambiamento del campo elettrico attraverso le piastre. Quindi fisicamente la corrente non scorre attraverso di essa. Maxwell ha coniato questo flusso elettrico variabile come Corrente di spostamento (J _D). Ma Maxwell ha coniato il termine Corrente di spostamento (J _D) considerando la simmetria della legge di Faraday, cioè se un campo magnetico che cambia nel tempo produce un campo elettrico, allora per simmetria, il cambiamento del campo elettrico produce un campo magnetico.

Il ricciolo dell'intensità del campo magnetico (H) nella regione S1 è

La forma integrale della quarta equazione di Maxwell può essere espressa come:

La forma differenziale della quarta equazione di Maxwell è:

Tutte queste quattro equazioni nella forma integrale o nella forma differenziale messe insieme sono chiamate equazione di Maxwell.